Chaos | XiangSiqi’s Blog

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Jan 3, 2026

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Chaos

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1. 单摆——周期运动到混沌

1.1 单摆的动力学方程

完整的单摆满足：

为空气阻力系数，为质量，是驱动力参数。我们对其进行无量纲化，基本方法是，除以，取，，进而取，得到：

此时方程中的所有量都是无量纲的，无量纲化的好处是不用考虑真实数量级。

1.2 周期运动

1.2.1 无阻尼无驱动

解析解

得到：

很容易得到：

进一步积分得到：

这里是单摆的周期，是最高点的角度。

现在考虑得到：

积分项就是第一类椭圆函数。这里的是无量纲化的，因此有量纲化为。

第一类椭圆函数有其多项式形式，或者，使用scipy.special.ellipk，对于第二类椭圆函数为scipy.special.ellipe，表达式为：

数值解

直接使用solve_ivp可以获得解析解

进一步可以绘制出椭圆函数图像：

相图

相图指的是平面。我们从解析中得到：

对比能量守恒：，显然是无量纲化的且势能零点修改的版本，满足。

由于，为了满足，因此，否则将没有图像。并且如果，则可以任意取值，形成开放轨道，而则形成闭合轨道。得到：

对于的情形，点真实空间中是同一状态，因此可以将相平面卷成一个圆柱，使得相接，此时点内部空间效果类似于布里渊区：

通常称其为同宿点。

1.2.2 有阻尼无驱动

得到：

可以用数值方法做出

对于确定的能量，相图为

即相空间塌缩到原点，称为吸引子。对于多能量：

1.2.3 不动分点

对于耗散系统，存在吸引子，相空间体积收缩过程中逐步塌缩到吸引子。

初始条件不同可以演化到不同吸引子

落到同一个吸引子的来源的集合称为吸引域

吸引子的维数一般比原始空间低（塌缩）

不动点指的是相空间速度为0的点，这些点保持不动，是系统的平衡点。我们的任务是研究不动点的分类和局域稳定性。

例如对于运动方程：

取可以导出相轨迹：

显然当时取到不动点，考虑一个解为，则我们来考察这个点的稳定性，这就是说，给予这个点微扰，看运动情况：

得到：

此处为雅可比矩阵。容易得到本征值：

根据线性代数知道，总能找到矩阵可以对角化：

于是对于，得到，即，得到

因此情况全看的实复和正负。考虑:

1.，此时为实数，若，则轨迹流向不动点，若，则远离不动点，若，则是鞍点，对应于以下情况：

2.，此时

如果，则纯震荡，相空间曲线闭合，不动点为椭圆不动点显然这是一个无消耗系统，即

如果，则纯衰减或发散

如果，震荡带有增减，为双曲型不动点，对于如下图：

1.3 有阻尼有驱动情况

得到

分解为：

可以绘制出：

将这个三维图形在方向压扁，得到的图形为相图。考虑每隔一个周期取一个点，得到的图为庞加莱截面。

2. 倒摆与达芬方程

2.1 倒摆的运动方程

倒摆图像如下：

因此运动方程为：

考虑，得到：

考虑驱动力：

考虑时，，取，考虑，，，，，得到：

而，考虑：

2.2 倒摆的混沌运动

2.2.1 无阻尼无驱动情形

得到：

可以积分得到：

其中是势能，显然不动点是。势能如图：

要求，故，为三个阶段。可以绘制相图。

2.2.2 有阻尼无驱动情形

得到

得到：

2.2.3 有阻尼有驱动情形

得到：

可以得到运动解，频谱图，相图，庞加莱截面。

3. 自激振动——范德波尔方程

3.1 运动方程

称为范德波尔方程(VDP)，还有强迫VDP：

考虑得到：

依旧画出运动解，频谱图，相图，庞加莱截面，分岔图。

3.2 吸引子和李雅普诺夫指数

为了判断吸引子的类型，我们引入李雅普诺夫指数，考虑三维，对于吸引子上的点，考虑的微小偏移，随后系统进入的变动中，考虑李指数定义为：

这里都是李指数。那么有：

或者考虑：

再考虑：

因此：

其中，得到：

又是雅可比矩阵的trace，等于特征值之和，因此：

3.3 分岔

分岔考察的是的情况，当正负号交换时，系统的稳定性发生变化。

3.3.1 叉型分岔

考虑方程，雅可比矩阵为，本征值为。考虑不动点为

对应的本征值为：

因此时，，稳定。时，，发散，稳定。得到：