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Jan 10, 2026
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MC
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计算物理
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学习笔记
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1. 随机数与随机抽样
1.1 随机数产生
1.1.1 线性同余法
公式为
这里为取模运算，得到的结果在到之间，并且
分别是模，乘子和增量，为随机数列种子。
1.1.2 组合发生器
如下图：
1.1.3 混沌法
利用：
这样得到的分布并不均匀，通过变换：
1.2 随机抽样
1.2.1 连续分布的随机取样
刚才的方法得到的是均匀分布，如何转化为特定分布？
考虑累积分布函数，它的含义是：
考虑产生过程为：1.采样均匀分布，2.，则：
最后一步利用了均匀分布的性质。
这就是说，我们只需要从均匀分布采样，再变换，即可得到服从分布的解。
1.2.2 舍取法
舍取法示意图如下：
考虑最大值为，则可以考虑一个宽为1，高为M的矩形，在其中投点，例如从均匀分布中采样出，那么点坐标为，如果，则保留该点，否则舍弃，这样得到的采样可以证明服从。
2. 计算定积分
2.1 投点法
为了计算定积分，如下图
所以思路几乎一样，是在区间内最大值，则取宽，高的矩形，即，投点结束后，总投点个，对于的部分数量为，有：
对于二重，三重积分也是相似的
2.2 平均值法
考虑定积分定义：
这里是对应的线段，现在MC考虑是一个均匀分布的随机变量，因此直接就有：
2.3 辅助函数法
平均值法在陡峭的地方并不精准，考虑如下变化：
定义，得到：，于是：
当陡峭时，大，实际被积函数小，因此的值更加精准。
- 作者:向思齐
- 链接:https://blog.xiangsiqi.site/notes/MC
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