第一章电磁现象的普遍规律

type

Post

status

Published

date

Jan 30, 2026

slug

ED1

summary

电磁现象的普遍规律

电荷与电场

库仑定律

库仑定律考虑两个电荷，位矢为和，电荷分别为和，则它们之间的库仑力为：

其中，是真空介电常数。从而得到电场：

其中，是电荷，是电荷的位置矢量，是场点位置矢量。由于电场满足叠加原理，考虑离散电荷：

考虑连续电荷分布：

高斯定律

考虑电场的散度：

这就得到了微分形式的高斯定律，考虑矢量分析的高斯定律，即：

这就是积分形式的高斯定律，总结一下：高斯定律微分形式有：

积分形式有：

静电场的旋度

考虑对电场取旋度：

由于，因此：

这表明静电场是无旋的，利用矢量分析的Stokes定理，可以得到：

这就证明了静电场的环路积分为零，总结一下：静电场的旋度微分形式有：

积分形式有：

电流与磁场

电流

我们知道电荷守恒定律，它的意思是闭合区域的总电荷量的变化量等于该区域的电流的净流出量：

考虑矢量分析的高斯定律：

考虑体积元无穷小，得到微分形式的电流守恒定律：电流守恒定律

积分形式有：

毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律考虑一个电流元，长度为，它产生的磁场为

积分形式就有：

其中，是真空磁导率，是电流强度，是场点位置矢量，是电流元位置矢量。考虑用电流密度来表示电流元，则有：

磁场的环量和旋度

考虑磁场的旋度：

考虑对于任意矢量，有：

在本问题中，因此第一项，第三项为0，代入就有：

对于第一项，散度为，因此：

第二项在复杂的数学计算后可以得到为0，因此有：

更简单的方法是分析出磁矢势：

考虑对于任意常矢量，和标量函数，有：

因此有：

取磁矢势：磁矢势

其中，是磁矢势，是电流密度。则有：

从而有：

对于第一项，有：

将微分号提到前面来得到：

对第一项使用矢量分析的高斯定律，考虑无穷远处电荷为0，因此为0，第二项考虑静磁场，因此为0，因此有：

因此有：

考虑Stokes定理，可以得到积分形式的磁场环量：

这就是安培环路定律，总结一下：安培环路定律微分形式有：

积分形式有：

磁场的散度

考虑磁场的散度：

这表明磁场是无散的，利用矢量分析的高斯定律，可以得到：

这就证明了磁场的散度为零，总结一下：磁场的散度微分形式有：

积分形式有：

麦克斯韦方程组

电磁感应定律

电磁感应定律是指变化的磁场会在闭合回路中产生感生电场，这个现象可以用法拉第电磁感应定律来描述。它的积分形式为：

考虑矢量分析Stokes定理，可以得到微分形式的电磁感应定律：

总结一下得到：电磁感应定律微分形式有：

积分形式有：

困难和位移电流假设

我们是否能够直接将麦克斯韦方程组写成：

这是不行的，因为：

可是按照矢量分析要求，，为了解决这个困难，麦克斯韦引入了位移电流：位移电流

其中，是位移电流密度，是真空介电常数，是电场的时间导数。因此有：

麦克斯韦方程组

由此真空中的麦克斯韦方程组写为：

其中，是电场，是磁场，是电荷密度，是电流密度，是真空介电常数，是真空磁导率。这些方程描述了电磁场的基本性质和相互作用。

介质的电磁性质

介质的电极化

首先我们考虑偶极子在面元两侧时对电荷量的贡献，如下图：

只有这样一部分偶极子能有贡献，即面积为的，高度为的柱，考虑数密度为

的偶极子，偶极矩为，则有：

从而闭合曲面总电荷为：

利用矢量分析的高斯定律：

因此有：极化电荷密度

其中，是极化电荷密度，是极化矢量。因此考虑电场高斯定律：

变形为：

考虑取电位移矢量：电位移矢量

其中，是电位移矢量，是真空介电常数，是电场，是极化矢量。因此有：

其中，是电位移矢量，是自由电荷密度。电位移矢量和电场常常用介电常数张量连接：

如果是线性介质，则有：

总结一下：介质的电极化对于任意介质，电位移矢量与电场的关系为：

其中，是电位移矢量，是介电常数张量。对于线性介质，电极化矢量与电场的关系为：

其中，是极化矢量，是极化率，是真空介电常数，是相对介电常数。

最后我们补充极化电荷面密度，考虑介质交界面的面元，它的面密度计入的是这个面元向两侧延伸的圆柱内的极化电荷量，考虑方向矢量从介质1指向介质2，两个介质的极化矢量分别为和，则有：

其中，是极化电荷面密度，是从介质1指向介质2的单位法向量，和分别是介质1和介质2的极化矢量。

介质的磁化

介质磁化的基本观点是分子电流假设，即假设每个分子都可以看作是一个微小的电流环，则在一个环路中，贡献磁场的分子电流是那些圈套在环路上的分子电流。因此对于环路上的线元，贡献的体积为，其中是分子电流的面积，是分子电流的倾角，考虑数密度为的分子电流，则有：

对整个环路包围的面积积分有：

考虑矢量分析的Stokes定理：

因此有：磁化电流密度

其中，是磁化电流密度，是磁化矢量。因此考虑磁场环路定律：

其中考虑了极化电荷的电流，变形为：

考虑取矢量：

其中，是磁场强度矢量，是磁感应强度矢量，是真空磁导率，是磁化矢量。因此有：磁场强度矢量的环路定律

其中，是磁场强度矢量，是自由电流密度，是真空介电常数，是电位移矢量。同样对于任意磁介质都有：

其中，是磁导率张量，对于线性介质有：

从而有：

显然这是为了和电场的关系类似。介质的磁化对于任意介质，磁场强度矢量与磁感应强度矢量的关系为：

其中，是磁感应强度矢量，是磁导率张量。对于线性介质，磁化矢量与磁场强度矢量的关系为：

其中，是磁化矢量，是磁化率，是真空磁导率。我们也要补充磁化电流线密度，如下图：

又图可以很容易看出

磁化电流线密度

其中，是磁化电流线密度，是从介质1指向介质2的单位法向量，和分别是介质1和介质2的磁化矢量。

介质的麦克斯韦方程组

介质的麦克斯韦方程组在介质中，麦克斯韦方程组可以写为：

其中，是电位移矢量，是自由电荷密度，是电场，是磁感应强度矢量，是磁场强度矢量，是自由电流密度，是真空介电常数。这些方程描述了介质中的电磁场的基本性质和相互作用。

通过利用高斯定律和Stokes定理，我们可以将这些方程转换为积分形式：

电磁场边值关系

首先考虑法向分量跃变:

这对应的是高斯定律的部分，如下图：

首先是电位移矢量的法向分量跃变：

而对于磁场，则显然为：

然后考虑切向分量连续:

这对应的是环路定律的部分，如下图：

首先是矢量的切向分量连续：

考虑面积很小，第二项为0，我们取方向为，方向为，则有：

如果将积分回路换到方向，则有：

因此有：

其中和分别是在和方向的分量，和分别是自由磁化电流线密度在和方向的分量。对于电场则有：

考虑面积很小，右边为0。则有：

总结一下，对于介质的电磁场边值关系，有：

其中，是电位移矢量，是自由电荷面密度，是磁感应强度矢量，是磁场强度矢量，是自由磁化电流线密度。这些关系描述了介质中电磁场的边界条件。

电磁场的能量与动量

电磁场的能量密度和能流密度表达式

考虑洛伦兹力，有洛伦兹力密度，那么洛伦兹力做功为：

第一项我们称为电磁场的能流密度，即坡印亭矢量：坡印亭矢量

其中，是坡印亭矢量，是电场，是磁场强度矢量。它的意义是，当你对全空间提供的洛伦兹力积分时，即：

因此坡印亭矢量描述的是从空间边界流入的能量。对于第二项，考虑线性介质，即，，则有：

因此我们取能流密度为：能流密度

其中，是能流密度，是电场，是电位移矢量，是磁场强度矢量，是磁感应强度矢量。因此有，当系统对外不做功时，有电磁场能量守恒方程：

电磁场的动量与动量密度

电磁场洛伦兹力造成动量变化：

考虑，则有：

又考虑：

同样有，因此有：

又考虑

同样有，因此有：

第三项还不是散度，一个经典的技巧是，这里的是一个标量场，是单位张量，因此有：

考虑动量密度为：动量密度

其中，是动量密度，是磁感应强度矢量，是电位移矢量，是真空介电常数，是真空磁导率，是折射率，是真空光速。以及动量流密度为：

其中，是动量流密度，是电场，是电位移矢量，是磁感应强度矢量，是磁场强度矢量，是单位张量。因此有：

考虑系统动量守恒得到：电磁场的动量守恒

其中，是动量流密度，是动量密度。

辐射压力

示意图如下：

时间内光束截面打到界面上的动量为：

考虑动量流与面元法向夹角为，则有：

考虑面元面积为，则有：辐射压力

其中，是辐射压力，是光束截面打到界面上的动量变化量，是面元面积，是时间间隔，是动量密度，是真空光速，是动量流与面元法向的夹角。