第六章狭义相对论 | XiangSiqi’s Blog

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Jan 30, 2026

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ED6

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狭义相对论

狭义相对论的提出

经典力学基本规律：

对于所有惯性系成立

电磁学基本规律

：

是个常数。因此出现了矛盾，如果假设力学基本规律成立，电磁学基本规律只能转变参考系成立，那么参考系参数是什么呢？

相对论的实验基础

考虑光波从地球自转方向射出：

(1) 透射光

正向：光速为，仪器，相对速度。

反向：光速为，仪器，相对速度。

(2) 反射光

面向同速率为，故

（在设备斜下光反射）旋转后系统会移动，但实验上未观察到，故以太系不存在。

相对论基本原理

(1) 相对性原理

相对性原理所有惯性系等价，物理定律具有相同形式。

(2) 光速不变原理

光速不变原理真空中光速相对任意惯性系都是恒定的。

考虑两个参考系，相对以匀速沿轴运动，时，与重合。

光从原点发出，利用相对性原理：

利用光速不变原理 ：

上述两个等式恒成立：

定义事件间隔：

时空间隔

时空间隔在不同惯性系下保持不变。我们有变换，如果写成

这是一个的正交变换。

设在 方向匀速运动，速度为 ，则考虑 ：

即

在 条件下， 的坐标 ，而系：

取，，则

故

而对于逆变换：

变换矩阵为正交矩阵，故

即

综上我们导出洛伦兹变换。洛伦兹变换本质是维持时空间隔不变的变换。

相对论时空理论

相对论的时空结构

表示两事件可以用光速联系

类时间隔（低于光速的作用即可联系）

类空间隔（不能建立联系的分立事件

例：设光源从原点发光，有四个事件：

事件0：点发光，

事件1：光线到达，

事件2：光线到达，

事件3：点再次发光，

假设对称在原点两侧。

事件0与1，0与2都满足用光波联系。

这意味着事件0与3有确定的先后顺序。

这意味着事件1与2分立。

因果律和相互作用的最大速度

说明发光后才能在接收到。

表明第一次发光以后才有第二次发光。这种情况下事件间有绝对因果关系。

说明接到的信息与无关。这意味着，在一个系下，可能比先接收，在另一个系下则反之。这同时表明，两个时间发生相互作用的最大速度是光速。

同时性的相对性

考虑为静止系，相对向右运动，相对向左运动，速度均为，则有下表：

ㅤ	事件1	事件2	顺序
			同时发生
			先到达
			先到达
ㅤ	ㅤ	ㅤ	ㅤ

运动时钟的延缓

(1) 系静止，相对沿方向以速度运动。

事件1：的时钟A遇到的时钟C1，C1位于的原点，设初时刻为0。

事件2：的时钟A走到的时钟C2，C2位于的处。

现在来查看钟中的时间，A显示 ，C1、C2显示 ， 反映了运动钟变慢。

(2) 静止， 相对以 运动。C2 在C1的侧以 处。

C1遇到A时，A在原点。对于C1有：

对于C2，，但由于未对齐钟中，不定。

对于C2，，因为已对齐，时间。

洛伦兹变换：

故C2：

C2遇到A时，对于C1有：

则C1：

因此静止A走过的时间为，反动走的是，运动钟更慢。

运动长度缩短

在刚才讲述中，系中，两点空间距离为，系中，两点空间距离为，运动尺缩短。

速度变换公式

在系：

由洛伦兹变换：

对求导：

因此：

同理：

其中。相对论速度变换公式

其中。取得到逆变换：

标量

标量定义为，洛伦兹变换下不变的物理量。

例如，

定义固有时：

固有时是一个标量，在所有惯性系下都不变。设同时钟同步，，即

因此不变，不变，也不变。

矢量

矢量定义为在洛伦兹变换下，四分量按同一方式变换的物理量：

即

四位矢量满足：

例如，定义四维速度：四维速度

因为按洛伦兹变换，不变，故服从矢量变换。

二阶张量

定义为在洛伦兹变换下要用两个指标表示的物理量，如：

相对论多谱勒效应、光行差

相位是四维标量：

取，

我们已经有洛伦兹变换：

考虑，

得到多普勒效应公式：

其中是运动系测得的频率，是静止系测得的频率，是源相对于观察者的速度，是源与观察者之间的夹角。取为相对波的静止系，在这个系下观察到的，为地面系，得到：

这个表达式中为波源相对于观察者的速度，为波速与波源合观察者连线的夹角。

若，，即经典多普勒效应。

若，，。

再利用

即得光行差公式：

其中。意味着光在不同参考系传递方向不同。

物理规律的协变性

方程的每一项都属于同类协变量，每一项都随时空协同方式变化，方程形式保持不变。

相对论力学

能量-动量四维矢量

经典动量：

相对论四动量定义：

故

得到四维动量：四维动量

且，，

符合经典结果。

取参考系：

，粒子自身参考系

，相对运动系

由于相对论协变：

就得到：动量能量关系

质能关系

之前我们得到了质能关系：

一个粒子分解成多个粒子：

动量守恒：，初态

能量守恒：，初态

相对论力学方程

仍然从经典力学出发：

这就得到了四维力：

其中，为动量，为能量。

电动力学的相对论不变性

四维电流密度矢量

实验表明，与参考系无关：

由于动尺收缩：，得到：

对于电流密度有：

考虑其四维形式

综上我们得到了四维电流密度：四维电流密度矢量

其中，为电荷密度，为速度矢量，为四维速度。

电荷守恒定律

：

故得到电荷守恒定律：电荷守恒定律

其中表示四维散度算符。是四维电流矢量

四维势方程

达朗贝尔方程组：

将写成，有

因此

其中。因此

洛伦兹规范：

即

即得到达朗贝尔方程：

其中为四维势矢量，为四维电流密度矢量。

可以看到，四维库仑规范和洛伦兹规范是一致的。

电磁场张量

磁场的分量为：

电场的分量为：

即

可以构造电磁场张量：定义为

其分量矩阵为

代入电场和磁场分量，有

从Maxwell方程矢量化为：

这样我们就得到四维麦克斯韦方程：四维麦克斯韦方程四维麦克斯韦方程为

其中为电磁场张量，为四维电流密度矢量。有张量变换：

而，则

反变换：

若，，

如果对于匀速运动的电荷，取主系为电荷系，则其电场为

利用

则

同理

带电粒子在正交电磁场中的运动我们求解第二问：一个静止质量为、电荷为的粒子，初始时静止，在沿 x 方向的匀强电场和沿 y 方向的匀强磁场中运动，其中。

我们采用您建议的方法，引入一个相对实验室参考系 S 以速度运动的参考系 S’。为了简化问题，我们选择使得 S’ 系中的磁场为零。

1. 参考系变换

设 S’ 系相对 S 系以速度运动。根据电磁场的洛伦兹变换公式：

在我们的问题中，，。，。因此，S’ 系中的场为：

为了使，我们必须选择。由于题目条件，我们有，因此这样的参考系是存在的。在该参考系中，洛伦兹因子。 S’ 系中的电场为，其中

总结一下，在 S’ 系中，我们有和一个沿 x’ 方向的匀强电场。

2. 在 S’ 系中求解运动

粒子在 S 系中初始静止，因此在 S’ 系中的初始速度为。在 S’ 系中，粒子只受电场力。我们使用固有时作为参数来求解。通过求解相对论运动方程，可以得到以固有时为参数的解：

其中，和如前定义。

3. 变换回实验室参考系 S

最后，我们使用洛伦兹逆变换将解从 S’ 系变换回 S 系：

将 S’ 系中的解代入，得到实验室参考系中以固有时为参数的粒子轨迹：

将常数用表示：

这就是粒子位置随时间变化的参数方程形式，其中是粒子的固有时。

相对论动力学

四维力的定义为

其中为电磁场张量，为四维速度。的分量为

四维速度为

将和的分量展开，有

其中。考虑，则

对于电流密度，有

这就是经典的洛伦兹力密度公式。