第2章拉格朗日力学 | XiangSiqi’s Blog

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Feb 24, 2026

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介绍约束、广义坐标、虚功原理、达朗贝尔方程、拉格朗日方程、诺特定理和哈密顿原理等拉格朗日力学的核心概念和定理。

拉格朗日力学

约束

一个系统的约束可以写为：

我们称只有位置相关的约束为几何约束，称包含速度相关的约束为运动约束。如果一个约束方程能够写成几何约束或者可以写成全微分形式（即可以积分成为几何约束），则称为完全约束，否则称为非完全约束。如果约束不显含时间称为定常约束，如果显含时间称为非定常约束。

定常约束

关键在于哪些约束是定常的。对于一个系统的约束，总可以写成：

如果上表达式是可积的，即：

那么必然有：

可积条件1

我们在约束条件上乘以一个函数有：

我们希望左侧可积，则必须有：

则可以变化为：

轮换指标：

在三个表达式上分别乘以，然后相加得到：

因此有：

可积条件2

如果一个约束可以写成全微分形式，则有：

我们可以通过数学技巧化简上述表达式，我们引入外微分：

则有：

因此可积条件2可以写成：

可积条件3

如果一个约束可以写成全微分形式，则有：

约束力

如果约束方程为：

其对应的约束力为：

其中为拉格朗日乘子。

广义坐标

我们引入一组坐标，这组坐标相互独立，任何质点坐标可以写成：

我们称为广义坐标。那么质点的运动速度为：

我们称为广义速度。我们很容易推出：

我们就得到了拉格朗日关系：

拉格朗日关系

对于广义坐标，有：

利用速度的表达式，我们很容易写出动能：

计为，容易发现，只有定常约束才满足：

质点加速度为：

我们称为广义加速度。

对于功：

我们定义广义力为：

其中称为广义力，从而有：

考虑是保守力，有势函数，即，则有：

因此求广义力的步骤是：

选取广义坐标

写出力和力的作用点的坐标

代入广义力的定义

虚功原理

虚位移与达朗贝尔原理

设在某⼀时刻，系统中各个质点发⽣⼀个系统的约束⽅程所允许的⽆限小变动，变动不是由质点的⽆限小运动造成的，不需要时间间隔，只要它满⾜质点系的约束条件即可，这样的⽆限小变动被称为虚位移，通常用来表示，因此对于约束方程：

考虑虚位移：

以虚位移前为零阶泰勒展开到一阶得到：

我们之前已经给出过约束力的表达式：

因此有：

于是我们得到达朗贝尔原理：

达朗贝尔原理

对于一个受约束的系统，虚位移满足：

其中为约束力。达朗贝尔原理表明，约束力做的虚功为0。

静力学

静力学满足，对于主动力和约束力，有：

因此有：

代入达朗贝尔原理：

因此有：

静力学达朗贝尔原理

对于一个静止的受约束系统，主动力的虚功为0，即：

值得注意的是，达朗贝尔原理要求约束力是理想约束的约束力，但是，我们可以将非理想约束力作为主动力的一部分来处理，这样，达朗贝尔原理仍然成立。

广义坐标下的虚功原理

对于广义坐标，有：

其中为广义力，表达式为：

又由于广义坐标是独立的，因此有：

广义力的虚功原理

对于一个受约束的系统，广义力满足：

或者写成功的形式：

再考虑到保守系中：

因此有：

保守系的平衡态

对于一个保守系，平衡态的势能取极值：

其中为广义坐标。

平衡态不一定是稳定平衡，势能可以泰勒展开：

稳定平衡的含义是，如果坐标发生微小变化，则势能增加，即：

这就是说，Hessian矩阵是正定的，于是我们得到稳定平衡条件：

稳定平衡条件

对于一个保守系，平衡态的势能取极小值，当且仅当Hessian矩阵：

是正定的。

约束力的求解：拉格朗日乘子法

我们的目的是求解约束力，在选取广义坐标的时候不考虑某个约束条件，这样选取的广义坐标并不独立，这就是说，对于：

不能直接推出。考虑约束条件，得到：

现在我们把约束条件的个方程分别乘上加到广义力的虚功方程上，得到：

我们这样取，使得前个方程为0，即：

这样可以解出，剩下的广义坐标是独立的，即可以推出：

合并就有：

拉格朗日乘子法

对于一个受约束的系统，广义力满足：

其中为约束方程的个数，为拉格朗日乘子。或者写成功的形式：

达朗贝尔方程

静力学问题得到了解决，但是动力学问题仍然没有解决。我们可以将虚功原理推广到动力学问题。考虑牛顿第二定律：

我们可以将其写成：

因此对上式做虚功，考虑约束力虚功为零，得到：

得到达朗贝尔方程：

达朗贝尔方程

对于一个受约束的系统，达朗贝尔方程为：

其中为主动力，为质点质量，为质点加速度。

为了求解达朗贝尔方程，我们需要选取广义坐标，代入达朗贝尔方程：

从而有：

第一项是广义力，对于第二项，我们考虑：

利用拉格朗日关系，并且对于第二项中的：

因此有：

因此有

考虑到广义坐标是独立的，因此有：

达朗贝尔方程

对于一个受约束的系统，达朗贝尔方程为：

其中为广义力，为动能。

拉格朗日方程

拉格朗日方程的推导

考虑主动力是保守力，即有势函数，则有：

代入达朗贝尔方程得到：

考虑势能不显含有广义速度，因此有：

我们定义拉格朗日函数为：

其中称为拉格朗日函数。

因此有：

拉格朗日方程

对于一个保守系，拉格朗日方程为：

其中为拉格朗日函数，为广义坐标。

拉格朗日量的不可观测性

拉格朗日量是不可观测量，这是因为：

拉格朗日量的不可观测性

考虑新的拉格朗日量，其中为任意函数，则有：

这就是说，拉格朗日量的变化不影响拉格朗日方程。

证明：

直接代入：

而：

因此有：

拉格朗日力学和牛顿力学的关系

拉格朗日力学和牛顿力学是等价的。我们可以从拉格朗日方程推导出牛顿方程。在牛顿力学下，势能只与位置有关，动能只与速度有关，因此有：

这就是牛顿方程。同时还意味着，拉格朗日方程的左侧是动量的时间导数，因此我们定义广义动量：

其中称为广义动量。

例子

半径为的光滑圆环以角速度绕竖直轴转动，质点串在圆环上.求质点在圆圈上的平衡位置，以及它绕平衡位置振动的频率

诺特定理

诺特定理研究的是守恒量，它的表述是：

诺特定理

对于位形空间的参数映射，如果拉格朗日函数对的偏导数为0，即，则有守恒量：

证明：

这就证明了诺特定理。我们可以看到，诺特定理的守恒量是广义动量和位形空间参数映射的偏导数的乘积。

利用诺特定理可以导出经典的三大守恒，首先如果拉格朗日函数具有坐标平移不变性，即，则有：

这就是动量守恒。

如果拉格朗日函数具有时间平移不变性，即，则有：

再加上哈密顿量的定义，我们可以得到能量守恒

如果拉格朗日函数在坐标旋转下不变，即映射，则有守恒量：

这就是角动量守恒。

补充：哈密顿量

对于拉格朗日量，将其对时间求导：

如果拉格朗日量不显含时间：

显然可以写成：

得到哈密顿量守恒：

哈密顿量

其中称为哈密顿量，为广义动量，为广义速度。

哈密顿原理

哈密顿原理是拉格朗日力学的一个重要原理，它表明，物理系统的实际运动轨迹是使作用量达到极值的轨迹。作用量定义为：

作用量

其中为拉格朗日函数，为广义坐标，为广义速度，和为时间区间的起始和结束时刻。

哈密顿原理

对于一个物理系统，实际运动轨迹是使作用量达到极值的轨迹，即：

我们可以从达朗贝尔原理出发导出哈密顿原理。达朗贝尔原理表明，对于一个受约束的系统，虚功为0，即：

对其积分：

考虑变化：

代入上式得到：

进一步化成：

最终我们得到：

考虑保守力场有，因此有：

这就是哈密顿原理的表达式。现在，让我们从哈密顿原理出发导出拉格朗日方程：

进一步化简：

从而得到：

由于是任意的，因此有：

这就是拉格朗日方程。

哈密顿原理其实是变分原理的一个特例。变分原理是指，⼒学系统的真实运动状态总是使得某种泛函取极值，即：

变分原理

其中为泛函，为对的导数，和为积分区间的起始和结束点。

从这里我们很容易导出欧拉方程：

欧拉方程

对于泛函，有：

在变分原理中，如果不显含，则也有哈密顿量守恒：

变分原理的哈密顿量

如果泛函不显含，则有守恒量：

其中为哈密顿量，为对的导数。

变分原理比较经典的问题如下：

例子： 求电线杆之间的电线、晾衣绳等所呈现的⼏何形状

例子： 求最速下降曲线的表达式

非完整系统

非完整约束

非完整约束意味着约束只能表达为如下形式：

根据达朗贝尔方程：

由于广义坐标不独立，不能直接去掉求和号，但是我们根据拉格朗日乘子法可以知道，只要在达朗贝尔方程中加入拉格朗日乘子，即可推出：

考虑是保守力：

其中，因此有：

非完整系统的达朗贝尔方程

对于一个非完整系统，达朗贝尔方程为：

其中，为约束条件的系数，为拉格朗日乘子。

这里有个方程，个未知数，必须再结合约束条件的个方程才能求解。

因此一般的解法是：

选取广义坐标

写出拉格朗日量

写出约束方程

列出非完整系统的达朗贝尔方程

联系约束条件求解达朗贝尔方程

速度依赖势能

广义力写为：

从而达朗贝尔方程写作：

移项得到：

这就是拉格朗日方程的形式。我们可以看到，拉格朗日方程在速度依赖势能的情况下仍然成立。

一个经典的例子是电磁场中的带电粒子：

例子：带电粒子在电磁场中的运动

洛伦兹力写为：

其中为电场，为磁场，为粒子电荷，为磁矢势，为电势。我们可以将其写为：

从而得到：

这就是说是一个速度依赖的势能，从而拉格朗日量为：

非保守系统的拉格朗日方程

考虑广义力中有耗散力，即：

则拉格朗日方程写作：

设非保守力是速度依赖的，即：

即：

称为瑞利耗散系数。从而拉格朗日方程写作：

非保守系统的拉格朗日方程

对于一个非保守系统，拉格朗日方程为：

其中为瑞利耗散系数，表达式为：

我们再来讨论一下耗散系数的意义，我们求非保守力的功率：

这意味着，非保守力的功率是耗散系数的两倍。

请注意，耗散系数是一个系统量，我们举个例子，若题目给条件是，粘性力和速度成正比，这就是说，那么进一步写成：，这表明耗散系数是，如果系统中有多个质点，就有：。