第6章刚体动力学 | XiangSiqi’s Blog

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Feb 24, 2026

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介绍位移定理、角速度、刚体运动分类（平动、定轴转动、平面运动、定点运动）、惯量张量、欧拉运动学和动力学方程、陀螺运动、拉莫尔旋进。

刚体动力学

刚体的运动学

刚体的位移定理

首先来回顾一下几类物体的定义，首先是质点，它是一个没有大小和形状的物体，只有质量和位置；其次是质点系，它是由多个质点组成的系统，质点之间可以有相互作用；再者是刚体，这是一个特殊的质点系，系统内任意两点之间的距离保持不变。

现在我们考虑刚体的位移定理，它说的是：

刚体的位移定理

刚体的任意运动可以分解为平动和绕某一点的转动。

证明

我们考虑刚体在空间中的运动，设刚体有两个点A和B，A点的位置矢量为，B点的位置矢量为，则有：

对时间求导有：

由于刚体内任意两点之间的距离保持不变，因此有：

对时间求导有：

这意味着垂直于，考虑叉乘：

就有，这意味着。因此我们有：

这意味着刚体的运动可以分解为平动和绕某一点的转动。

刚体的角速度

我们定义刚体的角速度为：

但实际上这个角速度定义是独立于刚体上的点的，对于不同的点，有不同的，但是都会得到相同的，我们知道了以下定理：

定理：角速度的独立性

刚体的角速度是与刚体上的点无关的。

证明

我们考虑刚体上的两个点A和B，以及另一个点C，则有：

对时间求导有：

由于对于有，对于有，因此有：

而对于有，因此有：

即：

由于和是任意的，因此有：

这意味着角速度是与刚体上的点无关的。

刚体运动的分类

现在我们可以对刚体的运动进行分类：

刚体运动的分类

平动：刚体的角速度为0，所有点的速度相同。

定点转动：平动速度为0.

定轴转动：平动速度为0且角速度方向不变。

刚体滑动：刚体平动速度不为0，但平动速度的方向和角速度的方向相同。

我们可以从动力学的角度对刚体的运动进行描述，刚体的动能可以写成：

其中，其中是第i个质点相对于A点的位置矢量，因此有：

由于，若我们选取的A点是质心，则有，因此有：

即：

定理：刚体的动能

刚体的动能可以分解为平动动能和转动动能：

其中是平动动能，是转动动能。

后面我们会看到，转动动能可以写成，其中是刚体的转动惯量张量，角动量也可以写成。

转动惯量

转动惯量的定义

刚体定点转动的转动动能为：

我们知道：

因此有：

其中：

我们称为转动惯量张量，它是一个二阶张量，对角元素称为转动惯量，非对角元素称为惯量积，它也是一个对称张量。因此之前我们有关于转动动能表达式的：

定理：转动动能

刚体的转动动能可以写成：

其中是刚体的转动惯量张量，定义为：

容易算出当A点选为xyz坐标系原点的时候刚体的转动惯量张量为：

同样我们来研究刚体关于一个点的角动量，容易得到：

利用叉乘的性质，有：

其实对比转动动能可以发现角动量和角速度的关系为：

定理：角动量

刚体的角动量可以写成：

其中是刚体的转动惯量张量。

当考虑定轴转动的时候，刚体的转动动能可以写成：

其中I是转动惯量，是角速度的大小。这和我们熟悉的是一致的。

同样定轴转动刚体的角动量可以写成：

不过需要注意的是，如果转轴不通过刚体的质心，则有：

其中是转轴的方向。这意味着，只有转轴通过刚体的质心，角动量和角速度才是平行的。

转动惯量的性质

首先我们来研究转动惯量的性质，我们知道转动惯量张量是一个对称张量，因此它可以对角化，对角化之后的对角元素称为主转动惯量，对角化之后的坐标系称为主轴坐标系。利用惯性张量的对称性我们知道：

因此我们可以找到一组正交基，使得惯性张量在这组基下对角化，即：

其中称为主转动惯量，对角化之后的坐标系称为主轴坐标系。在主轴坐标系下，转动动能可以写成：

角动量可以写成：

当仅有一个主转动惯量不同于另外两个时，称为对称陀螺，上方转动惯量大的称为扁椭球陀螺，小的称为长椭球陀螺；当三个主转动惯量都相同时，称为球形陀螺；当三个主转动惯量都不同时，称为不对称陀螺。

其次我们来研究平行轴定理，它说的是：

定理：平行轴定理

如果刚体绕过质心的轴的转动惯量为，绕过距离质心距离为d的平行轴的转动惯量为I，则有：

其中M是刚体的质量。更加严格的结果可以写成：

其中是绕过质心的轴的转动惯量，是质心到新轴的距离。

证明

我们设质心的位置矢量为，质点i相对于质心的位置矢量为，则有：

因此有：

展开有：

由于，因此有：

这就是平行轴定理的严格表达式。

我们不加证明地给出垂直轴定理：

定理：垂直轴定理

对于平面刚体，如果刚体在xy平面上，绕过质心垂直平面的轴的转动惯量为I_z，绕过质心平行于x轴的轴的转动惯量为I_x，绕过质心平行于y轴的转�的转动惯量为I_y，则有：

例题

考虑一个均匀细杆，长度为L，质量为M，绕过一端垂直于杆的轴的转动惯量为I，求绕过质心垂直于杆的轴的转动惯量I_c。

根据平行轴定理，有：

因此有：

而杆的转动惯量容易算出为：

因此有：

例题

圆盘的转动惯量。

考虑一个均匀圆盘，半径为R，质量为M，绕过质心垂直于圆盘平面的轴的转动惯量为I，求I。

以质心为原点建立xy坐标系，则有：

例题

球壳的转动惯量。

考虑一个均匀球壳，半径为R，质量为M，绕过质心的轴的转动惯量为I，求I。

以质心为原点建立xyz坐标系，考虑绕z轴转动，则球壳上的点到z轴的距离为，因此有：

例题

实心球的转动惯量。

考虑一个均匀实心球，半径为R，质量为M，绕过质心的轴的转动惯量为I，求I。

以质心为原点建立xyz坐标系，考虑绕z轴转动，则球上的点到z轴的距离为，因此有：

平面运动

平面运动的方程和约化

现在我们来研究刚体的平面运动，首先我们有刚体的拉格朗日量为：

对于平面运动来说，如果考虑刚体在xy平面上，则有转轴垂直于平面，即，因此有：

因此对于刚体的平面运动，我们有三个广义坐标：，其中是刚体的转角，因此拉格朗日量可以写成：

因此拉格朗日方程为：

特别地，当有约束的时候，我们有：

我们考虑平面运动的情况，其中刚体在平面上纯无滑滚动，即，其中R是刚体的半径，是角速度，因此拉格朗日量可以写成：

因此拉格朗日方程为：

当刚体沿着斜面无滑滚动时，势能，因此有：

因此有：

对于均匀圆盘来说，，因此有：

复摆的运动

复摆是一个特殊的刚体，它是一个绕固定点转动的刚体，我们来研究复摆的运动。复摆的拉格朗日量为：

其中I是绕固定点的转动惯量，l是质心到固定点的距离，是复摆的转角，因此拉格朗日方程为：

对于小角度近似，有：

因此有：

因此复摆的周期为：

利用平行轴定理，有：

因此有：

我们定义约化长度为：

因此有：

这个表达式和单摆的周期是一致的。

欧拉方程

欧拉方程的推导

现在我们来研究刚体的定点运动，刚体的定点运动的拉格朗日量为：

由于刚体的角动量为：

因此有：

其中是刚体所受的力矩，这就是角动量定理。

现在我们来推导欧拉方程，我们知道在实验室坐标系下有：

而在刚体固连的坐标系下，有：

因此有：

将代入，就有：

考虑主轴坐标系，有：

这就是欧拉方程：

欧拉方程

在刚体固连的主轴坐标系下，刚体的运动方程为：

自由对称陀螺

现在我们来研究自由对称陀螺，对称陀螺的转动惯量满足，因此欧拉方程为：

前两个方程可以改写为：

其中，第三个方程表明是常数，因此也是常数，解方程：

因此有：

这意味着在主轴坐标系下的分量是正弦振荡的，即在主轴坐标系下是一个圆锥运动，这个圆锥运动的角速度为。

重力场中的对称陀螺

现在我们来研究重力场中的对称陀螺，重力场中的对称陀螺的力矩为：

其中是质心到固定点的位置矢量，是重力加速度，因此有：

其中是和竖直方向的夹角，是方向的单位矢量。经过复杂的计算，我们可以得到陀螺的章动角满足：

这个方程等价于一个一维粒子在有效势能中的运动：

拉莫尔进动

拉莫尔进动是指在磁场中的磁矩受到力矩作用而绕磁场方向转动的现象，我们来研究拉莫进动。磁矩受到的力矩为：

其中是磁矩，是磁场，因此有：

由于，其中是旋磁比，因此有：

因此有：

其中，这意味着角动量绕磁场方向转动，转动的角速度为，这就是拉莫进动。