第4章小振动力学 | XiangSiqi’s Blog

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Feb 24, 2026

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介绍小振动系统的各种情形：一维振动（简谐振子、受迫振动、阻尼振动）、多自由度振动（世纪方程、简正模式、分子振动）、参数共振以及弦和膜的振动。

小振动力学

一维振动、受迫振动和阻尼振动

一维振动

一维弹簧振子的拉格朗日量显然写为：

得到拉格朗日方程：

这个方程的解我们很熟悉，如果k>0，则有：

代入初始条件即可

受迫振动

受迫振动的拉格朗日量为：

得到拉格朗日方程：

如果外力是恒定的，那么解为：

即只有平衡位置发生了改变。但如果外力不是恒定的，我们称这种振动为受迫振动。典型的情况是外力是周期性变化的：

注意，这里的是外力的频率，而不是振动的固有频率。此时拉格朗日方程为：

其中。考虑这个方程的解为其齐次方程的解和非齐次方程的解的叠加：

代入方程有：

现在我们来讨论：

当时，称为共振，此时猜测方程的解为：

代入方程得到：

化简得到：

因此有：

共振发⽣时的振幅将会随时间成正比的增长，当没有阻尼的限制，振幅最终可以趋于⽆限⼤！

当时，称为非共振，此时猜测方程的解为：

代入方程得到：

化简得到：

因此有：

振幅会在驱动⼒的频率接近振⼦自然频率时越来越来⼤。当驱动⼒频率与自然频率相等时，从渐进⾏为看来振幅将会趋于⽆穷⼤。

阻尼振动

受到与速度成正比的耗散力，因此瑞利耗散系数为：，而拉格朗日量为：

得到拉格朗日方程：

转化为：

将指数解作为尝试解，代入方程得到：

得到：

这意味着有两个解，对应方程的两个本征解，因此方程的解为：

现在我们来讨论：

，此时，，因此有：

这种会导致振动迅速衰减，称为过阻尼。

，有：

从而得到：

从而可以写成：

这种情况称为欠阻尼，振动会逐渐衰减，但仍然会有振动。并且振动频率会有改变。

，有：

其中Bt项是为了保证方程的解是线性无关的。此时称为临界阻尼，振动会先升高再衰减。

阻尼受迫振动

此时方程的形式为：

非齐次方程的通解我们已经计算得到：

取解为，代入得到：

我们猜解为：

代入解出系数：

进而得到：

从而得到：

可以写成：

从而我们得到：

过阻尼：

欠阻尼：

临界阻尼：

最后我们再讨论一下振幅：

因此当时，发生共振，振幅为：

我们定义共振宽度：

定义：共振宽度

共振宽度定义为：

其中和分别为振幅平方为最大值一半的频率。

对于阻尼受迫振动，当时，取得共振宽度的两端，解出：

因此有：

故：

因此阻尼越小，频率越窄。

下表总结了自由振动，受迫振动和阻尼振动和阻尼受迫振动的猜解：

多自由度振动

振动的合成

当质点同时参与两个振动的复合情况。

同方向，同频率：

同方向，不同频率：

考虑，有；

垂直方向，同频率：

这两个方程消除：

利用余弦加法公式展开：

设：

则方程变为：

写成矩阵形式：

行列式：

解得：

由得：

展开后：

整理得到：

垂直方向，不同频率：

对于这种情况，可以画出李萨如图形：

多质点振动

考虑如下图的振动系统：

容易写出拉格朗日量：

得到拉格朗日方程：

设，，代入方程得到矩阵：

为了让，有解，要求系数行列式为0，即：

解出：

其中为系统的固有频率。对应的系数为：

我们解出了两个频率，这就是两个振动模，共同参与构成质点的运动，因此质点的振动方程可以写为：

请注意解的过程中振幅比的正负交换了，要和角频率的正负对应。有了这个特殊的例子我们来介绍多自由度振动的一般理论。

多自由度振动的一般理论

久期方程法

首先，势能在平衡位置满足：

将势能做泰勒展开：

忽略高阶项，代入平衡位置条件，并且调整势能零点使得零阶项为0，得到：

从而系统的拉格朗日量为：

上述都使用了爱因斯坦求和规则。从而得到拉格朗日方程：

我们设方程的解为：，代入方程得到：

这可以写成矩阵：

为了让有解，要求系数行列式为0，即

这个方程称为久期方程，从中可以解出个，意味着有个振动模，对应着系统个自由度，进而可以解出本征向量，满足：

其中V为势能矩阵，m为质量矩阵，它们都是对称矩阵。因此有：

将第一个方程左乘，第二个方程左乘，显然左边相等，相减为0，即：

对于，有：

这意味着能够将对角化，因此可以将归一化为：

从而有：

因此对于矩阵：，有：

从而：

这样就说明了简谐振动的本征向量是正交归一的，并且可以将势能矩阵对角化。从而实际的运动为：

线性代数法

拉格朗日量为：

用矩阵写成：

将质量矩阵对角化，，其中为正交矩阵，则有：

这样是个对角矩阵。进一步把质量矩阵单位化，即取，则有：

再将对角化，取，其中为正交矩阵，则有：

这样写出的运动方程就可以看成是单质点的运动方程，其中。

分子振动

分子振动的基本方程是动量守恒和角动量守恒：

这就是分子振动基本运动方程：

分子振动基本运动方程

分子振动的基本运动方程为：

其中为平衡位置，为偏离平衡位置的位移。

线性三原子分子的振动

如下图：

首先我们考虑横向振动，根据动量守恒：

因此拉格朗日量为：

代入的表达式，得到：

因此质量矩阵为：

势能矩阵为：

求出质量矩阵的本征值为：

势能矩阵的本征值为：

因此角频率为：

考虑纵向振动，同样根据动量守恒：

还有角动量守恒：

拉格朗日量为：

代入，，得到：

将代入，得到：

从而运动方程为：

从而解出：

三角形三原子分子的振动

如下图：

考虑三个原子偏离平衡位置的坐标为(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)，有原子1,3质量都为m_A，原子2质量为m_B。根据动量守恒：

还有角动量守恒：

初始状态如图，因此，，代入有：

因此动能很容易写成：

但是对于势能，我们规定势能依赖于1,2和2,3之间的距离和1,2,3夹角度，分别设偏移为，，，有：

而角度偏移为：

这些结果都可以由几何关系得到验证，从而拉格朗日量为：

定义广义坐标：，，，则有：

因此得到：

，还需要进一步解耦。

原子环

考虑一个原子环，如下图：

设原子质量为，数量为，有拉格朗日量：

有周期性边界条件：

从而得到振动方程：

代入，得到：

可以写成矩阵：

这个矩阵并不好解。由于具有周期性，考虑傅立叶分解：

则有：

而有：

因此有：

这个方程的解为：

从而：

因此我们只需要猜解：

即可。

如果考虑很大，则可认为是连续的，即，那么拉格朗日量写为：

可以化为：

从而作用量为：

从而得到欧拉-拉格朗日方程：

这就是波动方程，后面我们会介绍它的解。

参数共振

参数振子

如果振动方程：

中的是时间的函数，则称为参数振子。而二阶微分方程有两个解，设为，，则有：

这样可以推出：

这意味着如下行列式为常数：

现在来考虑是周期函数的情况，设周期为，则有：

显然，也是方程的解，定义弗洛凯算符：

定义：弗洛凯算符

在本问题中，显然有：

因此有：

取，有：

而初值条件是：

因此有：

FLOQUET理论

FLOQUET理论是研究周期性微分方程的一个重要工具。它的核心是将周期性微分方程的解表示为周期函数和指数函数的乘积。

FLOQUET定理

考虑周期性微分方程：

其中是周期函数，周期为。则解满足：

得到解的形式一定满足：

其中是周期函数，周期为，为问题固有的个特征指数之一，且有：

且有对于，有：

现在我们进行证明：

证明

Floquet发现，在这种形式的微分方程中有一个特殊的矩阵：，它是解的行列式，对泰勒展开：

也可以泰勒展开：

比较得到：

Flouqet还发现了一个矩阵，这个矩阵与时间无关，，我们称为基础矩阵，即有，证明的方法是，我们取，则有：

因此得到：

通常我们希望则有：

则有：

现在我们来考虑本征值问题，考虑的本征值为：，则有：

我们考察，则有：

我们取，则有：

现在我们来证明的形式。取，则有：

这就证明了是周期函数，周期为。因此我们可以将解写成：

且有：

这就证明了FLOQUET定理。

现在我们用Floquet定理分析参数振子：

我们令，，则有：

可以验证这个表达式和原方程等价。选择边界条件：

这样矩阵为：

我们知道是的本征值，因此有：

我们还知道：

从而解出：

从而得到方程的解：

其中，，是周期函数，周期为。现在我们来讨论：

如果，则，都是实数，且必有一个大于1，另一个小于1，因此解，必有一个为正，另一个为负，这会导致系统的平衡不稳定，任何偏移会导致系统快速偏离平衡位置，称为参数共振。

如果，则，这时候系统在平衡的临界态，偏移会导致缓慢增长。

如果，则，都是虚数，且模相同都为1，因此系统处在稳定平衡。幅角相反，计为，因此两个解为

这个时候是周期函数，周期为，指数的周期为，如果这两个周期的比值是有理数，则称它们是公度的。显然，共度的时候系统有个更大的共有周期。

弦振动和膜振动

弦振动

弦振动的图像我们很熟悉了，考虑纵向振动为：

忽略重力，考虑，则有：

其中，

因此有：

忽略高阶项得到线振动方程：

弦振动方程

其中，这是一个波动方程。边界条件为：

初始条件为：

解的方法是分离变量法：

设，则有：

取，则有：

容易得到最终的解为衰减指数解：

代入边界条件：

因此有：

因此我们需要考虑的情况，取，则有：

代入边界条件：

称为本征频率，称为模数。代入初始条件：

从而解为：

利用最后一个边界条件：

得到最终的解为：

这意味着，质点的实际振动是无穷个模的叠加。这是因为弦上有无穷个质点。

弦振动还可以用行波法来解：

弦振动行波解

其中，是任意函数，是波速。

膜振动

膜振动的情况类似于弦振动，因此方程就是二维的波动方程：

膜振动方程

其中，这是一个波动方程。边界条件为：

初始条件为：

解的过程和弦振动类似，此处省略。