第3章中心力场 | XiangSiqi’s Blog

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Feb 24, 2026

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介绍两体问题运动方程、比内公式、运动轨道（谐振子势能、万有引力势能）、Bertrand定理、开普勒问题、位力定理和散射问题。

中心立场

运动方程

考虑两体问题，质心不动，在质心系下，两个质点的坐标是：

则可以写出质心系下的动能：

其中为总质量，为约化质量。我们可以将拉格朗日函数写为：

在球坐标下写出：

从而对三个坐标有拉格朗日方程：

第三个式子表明：

角动量守恒

其中为角动量，为z轴方向的角动量。

我们取，则，得到：

将其代入第一个方程得到：

在方程左右两侧乘以，能够推出：

这就是能量守恒：

能量守恒

其中为能量。

从哈密顿量的角度也可以推出，此处不再介绍。取有效势能：

定义：有效势能

其中为有效势能。第一项是惯性离心力势能。

比内公式

我们要求轨道方程，需要替换时间变量，我们可以将时间变量替换为角度变量，从而得到，利用到：

取，则有：

从而二阶导数为：

代入运动方程就有：

其中。我们就得到了比内公式：

比内公式

其中，为力，为约化质量，。

我们从能量守恒定律出发，得到：

再代入，得到：

得到可降阶的比内公式：

可降阶比内公式

它要求：

比内公式也可以由能量守恒定律导出，我们从能量守恒定律出发，得到：

取平方：

得到：

对u求导得到：

化成：

这就是比内公式.

运动轨道

有了比内公式我们就来解运动轨道。

谐振子势能

对于谐振子：，则有：

化简，令，则有：

积分得到：

其中，为初始位置。从而反解出：

万有引力势能

对于万有引力势能：，则有：

取，从而得到：

积分得到：

其中，为初始位置。从而反解出：

为了更清楚的知道解的内涵，我们回顾圆锥曲线的知识：

圆锥曲线的极坐标方程

对于椭圆和双曲线的极坐标方程为：

当时，为椭圆，当时，为抛物线，当时，为双曲线。其中为半短轴，为半长轴，为离心率。当为双曲线时，，为准线到焦点的距离。

因此在平方反比力的解中，离心率为：

因此当时，，为椭圆轨道；当时，，为抛物线轨道；当时，，为双曲线轨道。即非负时，为开放轨道。

尽管我们在解刚才的问题时都采用的是可降阶的比内公式，但是在很多问题上二阶的比内公式也相当有效：

例题

考虑平方反比力，求解其运动轨道。

解

将其代入可降解的比内公式：

化简得到：

显然可以直接得到这个方程的解：

再求能量可以反解出A，从而回到可降阶比内公式的结果。

有效势能

我们知道有效势能的表达式为；

对于排斥势能，有效势能单调递减，当总能量时，粒子运动，当粒子半径减小到使得时，粒子将停止运动，此时为最小半径，称为最近点。因此粒子的运动轨道是开放轨道。

平方反比力的吸引势能，这种有效势能类比勒纳德琼斯势能，当总能量大于等于0时，为开放轨道，当总能量小于0时，粒子只能在总能量与有效势能曲线的交点的中间运动，因此是束缚运动。当总能量等于时，粒子将做圆轨道运动。

谐振子的势能，有效势能是一个两端无穷大的类抛物线，因此当时，粒子做束缚运动，当时，粒子做圆轨道运动。

轨道稳定性与Bertrand定理、旋进角

Bertrand定理表述如下：

Bertrand定理

所有的中⼼⼒场中只有平⽅反⽐⼒和胡可定律⼒会导致闭合轨道。

证明

我们可以从比内公式出发，比内公式变形为：

我们将圆轨道作为0阶近似进行微扰，对圆轨道：，则有：

考虑，则有：

我们把J(u_0 + x)进行泰勒展开：

代入上式得到：

这是一个谐振子方程，要求：

方程的解为：

因此至少要满足转动m圈后至少要重合n次，：

这表明必须是个有理数。

我们还可更精确的估计，将J(u)进行三阶泰勒展开：

代入上式得到：

为了解这个方程，我们把用傅立叶分解：

再把和代入上式也傅立叶分解。

最后我们能够推出：

即：

因此只有平方反比力和虎克力能够保证原轨道，这就是Bertrand定理的证明。

在上述的讨论中我们得到了一般轨道稳定性的判定方法：

一般轨道:Bertrand判定方法

对于一般的轨道，要求：

代入，得到：

以及：

联立两者得到：

对于圆轨道，有效势能法也是有效的，我们要求有效势能满足：

原轨道：有效势能法

对于稳定的轨道，有效势能必须满足：

代入有效势能为：，则有：

联立得到：

这就是有效势能法的条件。显然这跟Bertrand定理的结论一致。

刚才我们讨论的过程中出现了的形式，这意味着当时，并没有转完一个周期，而是需要转动的角度才能转完一个周期，这里我们假设，这意味着转的角度变大了，多出来的角度我们称为旋进角：

定义：旋进角

如果角度转动不能完成一个周期，而是要才能转完一个周期，那么这个运动有旋进，旋进角为：

当时，旋进角为正，表示轨道在旋进；当时，旋进角为负，表示轨道在旋退。并且定义旋进角速度为：

其中为转动所需的时间。

开普勒问题

开普勒三大定律

开普勒三大定律如下：

行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积。

利用角动量守恒：

故面积速度守恒

行星公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比。

拉普拉斯-龙格-楞次矢量

根据牛顿第二定律：

从而有：

考虑：

因此有：

因此得到：

拉普拉斯-龙格-楞次矢量

是守恒的，其中为动量，为角动量，为约化质量，为力常数，为位置矢量。

用拉普拉斯-龙格-楞次矢量可以迅速导出轨道方程，考虑：

从而导出：

而：

从而代入：

这就是最先的轨道方程。这同时表明，拉普拉斯-龙格-楞次矢量方向在焦点指向近日点方向，大小为：，其中为离心率。

星体进动

我们之前已经计算过一些简单的进动问题，但是在有些情况我们很难直接解出方程，我们直接使用积分。首先是能量守恒：

得到：

再根据角动量守恒：

得到：

从而有：

考虑势能微扰为：

则有：

从而积分：

第一项就是，因此旋进角为：

旋进角

其中为最近点，为最远点。

到目前为止都是严格的，实际计算考虑一个近似：

从而有：

代入角动量守恒：

得到：

再代入轨道方程：

即可积分。

位力定理

位力定理的表述如下：

位力定理

对于一个粒子进行周期性运动，那么有：

其中为动能，为作用在粒子上的力，为粒子位置矢量，为平均值。

证明

考虑物理量，则有：

取平均值有：

因为G是周期函数，因此平均值为0，因此有：

这就是位力定理。

位力定理使用的经典粒子是理想气体状态方程的推导：

例题

考虑一个理想气体，N个粒子，体积为V，温度为T，求理想气体状态方程。

解

理想气体的力为，其中为压强，为面积矢量。考虑一个粒子在体积内的平均位置为，则有：

利用高斯定律：

又理想气体，其中为玻尔兹曼常数，因此有：

代入位力定理得到：

这就是理想气体状态方程。

还有个例子出现在中心力场中：

例题

考虑两个粒子，位置为：和，相互作用势能为：

解

受力为：

在二体问题中：

因此有：

因此总能量为：

考虑万有引力，，则有：

散射问题

考虑粒子入射，到力心的垂直距离为，则散射的面积为，这一部分粒子散射角度是，进入立体角：，因此有微分散射截面的定义：

定义：微分散射截面

微分散射截面定义为：

其中为入射粒子到力心的垂直距离，为散射角度。

微分散射截面是一个重要的物理量，它描述的是单位立体角内的散射粒子数目。计算微分散射截面的关键是找到入射粒子到力心的垂直距离与散射角度之间的关系。决定了角动量：

角动量可以表达为：

并且有能量守恒：

因此有：

得到：

积分：，，得到：

从而散射角为：

散射角

计算出了角度的表达式，就可以计算微分散射截面。