第5章哈密顿力学 | XiangSiqi’s Blog

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Feb 24, 2026

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介绍哈密顿正则方程、泊松括号、刘维尔定理、正则变换（母函数、辛条件）、哈密顿-雅可比方程、角变量和作用量变量及绝热不变量。

哈密顿力学

哈密顿正则方程

哈密顿量的引入

我们已经知道拉格朗日量为：

这是一个关于的函数，其中是广义坐标，是广义速度，它们共同构成位形空间。哈密顿力学的核心是将关于位形空间的描述转化为关于相空间的描述，相空间是的空间，其中是广义动量，定义为：

定义：广义动量

对于拉格朗日量有：

为了消除，我们对其进行勒让德变换：，则有：

这意味着，是一个关于的函数，称为哈密顿量。哈密顿量的定义为：

定义：哈密顿量

前面我们已经知道，当拉格朗日量不含时的时候，哈密顿量是守恒的，现在我们来揭示哈密顿量的物理含义，我们知道动能为：

当不含时间时，动能为：

考虑保守系统，广义动量为：

因此有：

这意味着在保守恒常系统中哈密顿量是系统的总能量，哈密顿量守恒意味着系统的能量守恒。

哈密顿正则方程

现在我们来推导哈密顿正则方程，考虑哈密顿量定义：，有哈密顿量的全微分为：

由于，因此有：

代入拉格朗日方程：

有：

由于哈密顿量是的函数，因此有：

对比两个表达式可以得到：

前两项表达式构成哈密顿正则方程：

哈密顿正则方程

哈密顿正则方程也可以用最小作用量原理导出，考虑：

由于哈密顿量是的函数，因此有：

考虑，则有：

考虑各个广义坐标独立，就得到：

这就是哈密顿正则方程。

运动积分

首先是广义能量积分，考虑：

得到：

这意味着如果拉格朗日量不含时，则有，因此哈密顿量是守恒的。

而当哈密顿量不显含某个坐标时，即：

则有是守恒的。

非理想约束的哈密顿正则方程

首先我们有：

因此我们有，对于完整约束，拉格朗日方程为：

推出：

对于非保守力系统，拉格朗日方程为：

推出：

对于非完整约束，拉格朗日方程为：

推出：

总结一下：

非理想约束的哈密顿正则方程

如果是理想约束：

如果是非保守力系统：

如果是非完整约束：

下面我们举几个例子：

例题

电磁场粒子的哈密顿量。

我们已经知道电磁场的拉格朗日量为：

从而计算出广义动量：

从而得到哈密顿量：

这个结论在量子力学中非常关键。

例题

中心立场的哈密顿量。

我们已经知道中心立场的拉格朗日量为：

从而计算出广义动量：

从而得到哈密顿量：

这就是中心立场的哈密顿量。代入哈密顿正则方程就有：

可以看到，前两个方程是广义动量的定义，后两个方程一个是运动方程，一个是角动量守恒。

泊松括号

考虑相空间任意力学量A随时间的变化率：

代入哈密顿正则关系：

有：

我们定义第二部分为泊松括号：

定义：泊松括号

对于任意力学量A,B，定义泊松括号为：

因此力学量A随时间的变化率可以写成：

我们不加证明的给出泊松括号的性质：

泊松括号的性质

，常数和任意力学量的泊松括号为0。

，任意力学量和自身的泊松括号为0。

，泊松括号是反对称的。

，泊松括号是线性的。

，泊松括号满足莱布尼兹法则。

，泊松括号满足Jacobi恒等式。

这些性质容易直接通过定义证明。

如果一个力学量是守恒量的充分必要条件容易表达为：

守恒量的充分必要条件

如果A是守恒量，则有：

我们给出定理，如果两个力学量分别是守恒量，则它们的泊松括号也是守恒量：

守恒量的泊松括号

如果A,B是守恒量，则有：

这也是很容易证明的。

泊松括号还有其运动方程，很容易得到：

泊松括号的运动方程

其中X是任意力学量。

在量子力学中，泊松括号变为对易关系：

量子力学中的对易关系

刘维尔定理

首先我们介绍系宗，它指的是在⼀定的宏观条件下，⼤量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合。

我们考虑相空间的粒子系宗，构成相空间的体积元，考虑有个粒子在这个体积元中，则定义粒子数密度为，刘维尔定理说的是：

刘维尔定理表述1

在相空间中，粒子数密度是守恒的，即：

证明

考虑将空间投射到平面上，并且考虑体积元投影之后是一个矩形，单位时间内从边进入体积元的粒子数为：

其中是投影到平面上的体积元。

从边出去的粒子数为：

因此有：

将在处泰勒展开到一阶：

代入得到：

显然从边进出的净粒子数为：

两者加起来有：

从而粒子数密度变化率为：

从而：

因此：

代入哈密顿正则关系：

有：

这意味着粒子数密度是守恒的。

这个证明同时给出了刘维尔方程：

刘维尔方程

这个表达式在统计物理中十分重要，因为当只是哈密顿量的函数时，粒子数密度和哈密顿量的泊松括号为0，即：

这意味着不显含时间，从而可以进一步导出粒子流密度服从玻尔兹曼分布，即：

其中是配分函数，，是玻尔兹曼常数，是温度。

刘维尔定理还有一种表述：

刘维尔定理表述2

在相空间中，随着粒子运动体积元的形状可能发生变化，但体积元的体积是守恒的，即：

其中是时刻的体积元，是时刻的体积元。

证明

显然有：

而变化后的体积元为：

变化前后广义坐标的关系为：

我们知道两个体积元的关系可以用雅可比行列式来表示：

其中是雅可比行列式，定义为：

因此对于：

因此矩阵写为：

它的行列式为：

因此有：

这意味着体积元的体积是守恒的，即相空间的体积元是不可压缩的。

正则变换

正则变换的定义和条件

正则变换定义如下：

定义：正则变换定义1

对于变换，如果存在一个新的哈密顿量，使得新的哈密顿正则方程为：

则称这个变换为正则变换。

现在我们来导出正则变换的条件，考虑最小作用量原理：

这意味着：

这样我们就得到了正则变换的条件：

定义：正则变换的定义2

对于变换，如果存在一个新的哈密顿量，存在一个函数，使得：

则称这个变换为正则变换，函数称为正则变换的母函数或生成函数。即等式右侧可以写成全微分的形式。

(其余内容继续...)