第1章矢量力学补充

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Feb 24, 2026

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坐标系变换-雅可比行列式

考虑坐标变换：，定义雅可比行列式为：

雅可比行列式链接了两个坐标空间的体积元，即：

自然坐标系

过去我们介绍了二维的自然坐标系，现推广到三维空间。

定义：

密切面：M'点无限接近M点时两条切线所构成的平面

法向：密切面内与切向垂直且指向轨道内侧的向量

法平面：过法向向量并且与密切面垂直的平面

副法向：法平面内垂直于密切面的单位向量

傅雷内特公式

证明：

由于 = 1，对其两边求导得：

因此垂直于，即，其中为曲率，为法向单位向量。

证明：

由于三个单位向量 , , 两两正交，因此有：

由于的导数垂直于，因此。由于，两侧求导：

因此。因此得到：

其中称为挠率，表示曲线在法平面内的弯曲程度。

证明：

由于，对其两边求导：

定理（傅雷内特公式）： 对于三维空间中的自然坐标系，定义单位切向量、法向量和副法向量，则有以下关系：

其中为曲率，为挠率。

傅雷内特公式的矩阵形式是反对称的：

并且我们知道，任何反对称矩阵都可以找到一个矢量，使得：

这个矢量就是：

傅雷内特公式可以直接推出：

其中为曲率半径，为切向量转过的角度。

参考系之间的变换

考虑两个单位矢量的变换：

其中是一个正交矩阵，满足。

因此对于一个矢量，则有：

代入，得到：

考虑是惯性系的单位矢量，因此，因此有：

由于是正交矩阵，对于变换，设逆变换为，对于正交阵，逆矩阵等于转置矩阵，即，因此。

因此有：

对于正交阵我们知道，求导有：

这意味着是一个反对称张量，我们如果取，则有：

同理可以推出：

因此有：

从而得到：，因此有：

因此有：

其中为在动坐标架中看到的速度，为动坐标架的旋转角速度。如果动系原点相对于惯性系还有平移速度，则有：

那么加速度为：

其中为角加速度。整理得：

定理（参考系变换）： 对于两个参考系，设动坐标系相对于惯性系的平移速度为，角速度为，则有：

其中和分别为在动坐标系中看到的速度和加速度。

关键的题目

习题1： 长度为 l，质量为 m 的绳子一半放在光滑桌面上，另一半垂直于桌面无初速度滑下，求绳子离开桌子瞬间绳子的速度？

习题2： 一只甲虫质量为 m 在质量同为 m 的光滑圆环上爬行，圆环放在光滑桌面上，系统在初始时刻是静止的，甲虫在圆环上爬行一周，环自身转过的角度为多大？

习题3： 计算由地球自转效应（科里奥利力）所导致的自由落体运动。

习题4： 计算由地球自转效应（科里奥利力）所导致的单摆平面的运动（傅科摆）。